Singularly Perturbed Spectral Problems in a Thin Cylinder with Fourier Conditions on its Bases

Автор(и)

  • Andrey Piatnitski The Arctic University of Norway, Campus in Narvik, P.O. Box 385, N-8505 Narvik, Norway
    Institute for Information Transmission Problems RAS, Bolshoi Karetnyi, 19, Moscow, 127051, Russia
  • Volodymyr Rybalko B. Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering of the National Academy of Sciences of Ukraine, 47 Nauky Ave., Kharkiv, 61103, Ukraine

DOI:

https://doi.org/10.15407/mag15.02.256

Ключові слова:

сингулярно збурені оператори, задача усереднення, власні значення, власні функції, крайова умова Фур'є.

Анотація

У роботі вивчається нижня частина спектра сингулярно збуреного еліптичного оператора другого порядку, який визначено в тонкому циліндрі та який має періодичні коефіцієнти в подовжньому напрямі. Розглянуто однорідну умову Неймана на бічній поверхні циліндра та однорідну умову Фур'є загального вигляду на його основах. Доведено, що асимптотичне поводження першої власної пари може бути охарактеризовано в термінах граничної одновимірної проблеми для ефективного рівняння Гамільтона-Якобі з ефективними крайовими умовами. Для того щоб побудувати коректори примежового шару, вивчається спектральна проблема типу Стеклова в напівнескінченному циліндрі (ці результати мають окремий інтерес). За структурних припущень відносно ефективної проблеми, які ведуть до локалізації (у деякому сенсі) власних функцій всередині циліндра, доведено двочленну асимптотичну формулу для першого та наступних власних значень.

Mathematics Subject Classification: 35B27,35P15, 35J25.

Посилання

G. Allaire, Y. Capdeboscq, and M. Puel, Homogenization of a one-dimensional spectral problem for a singularly perturbed elliptic operator with Neumann boundary conditions, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B 17 (2012), No. 1, 1–31. https://doi.org/10.3934/dcdsb.2012.17.1

G. Allaire and A. Piatnitski, On the asymptotic behaviour of the kernel of an adjoint convection-diffusion operator in a long cylinder, Rev. Mat. Iberoam. 33 (2017), No. 4, 1123–1148. https://doi.org/10.4171/RMI/965

M. Arisawa, Long time averaged reflection force and homogenization of oscillating Neumann boundary conditions, Ann. Inst. H. Poincaré (C) Anal. Non Linéaire, 20 (2003), No. 2, 293–332. https://doi.org/10.1016/S0294-1449(02)00025-2

G. Barles, F. Da Lio, P.-L. Lions, and P.E. Souganidis, Ergodic problems and periodic homogenization for fully nonlinear equations in half-space type domains with Neumann boundary conditions, Indiana Univ. Math. J. 57 (2008), No. 5, 2355–2375. https://doi.org/10.1512/iumj.2008.57.3363

I. Capuzzo-Dolcetta and P.-L. Lions, Hamilton–Jacobi equations with state constraints, Trans. Amer. Math. Soc. 318 (1990), 643–683. https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1990-0951880-0

D. Gilbarg and N.S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer-Verlag, Berlin–Heidelberg–New York–Tokyo, 1983. https://doi.org/10.1007/978-3-642-61798-0

M.G. Crandall, H. Ishii, and P.-L. Lions, User’s guide to viscosity solutions of second order partial dierential equations, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 27 (1992), 1–67. https://doi.org/10.1090/S0273-0979-1992-00266-5

L.C. Evans, The perturbed test function method for viscosity solutions of nonlinear PDE, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 111 (1989), No. 3–4, 359–375. https://doi.org/10.1017/S0308210500018631

G.M. Lieberman, Oblique derivative problems in Lipschitz domains. II. Discontinuous boundary data, J. Reine Angew. Math. 389 (1988), 1–21. https://doi.org/10.1515/crll.1988.389.1

I. Pankratova and A. Piatnitski, On behavior at infinity of solutions to stationary convection-diffusion equation in a cylinder, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B 11 (2009), No. 4, 935–970. https://doi.org/10.3934/dcdsb.2009.11.935

A. Piatnitski and V. Rybalko, On the first eigenpair of singularly perturbed operators with oscillating coefficients, Comm. Partial Differential Equations 41 (2016), No. 1, 1–31. https://doi.org/10.1080/03605302.2015.1091838

A. Piatnitski, A. Rybalko, and V. Rybalko, Ground states of singularly perturbed convection-diffusion equation with oscillating coefficients, ESAIM Control Optim. Calc. Var. 20 (2014), No. 4, 1059–1077. https://doi.org/10.1051/cocv/2014007

A. Piatnitski, A. Rybalko, and V. Rybalko, Singularly perturbed spectral problems with Neumann boundary conditions, Complex Var. Elliptic Equ. 61 (2015), No. 2, 252–274. https://doi.org/10.1080/17476933.2015.1076396

H.M. Soner, Optimal control with state-space constraint. I., SIAM J. Control Optim. 24 (1986), 552–561. https://doi.org/10.1137/0324032

Downloads

Як цитувати

(1)
Piatnitski, A.; Rybalko, V. Singularly Perturbed Spectral Problems in a Thin Cylinder with Fourier Conditions on its Bases. Журн. мат. фіз. анал. геом. 2019, 15, 256-277.

Номер

Том 15 № 2 (2019)

Розділ

Статті

Завантаження

Дані завантаження ще не доступні.